TEOREMA DEI NUMERI PRIMI

I numeri primi hanno affascinato fin dall’antichità, spingendo già Eratostene (III-II secolo a.C.) a formulare un algoritmo (il famoso crivello) per individuarli. Ma come si distribuiscono i numeri primi nell’insieme infinito dei numeri? Fu Eulero, nel Settecento, a occuparsi della loro frequenza, tenendo presente che a mano a mano che questi diventano più grandi, risultano anche meno comuni. Nell’Ottocento, Gauss e Lagrange formularono congetture sull’ordine di grandezza della funzione che conta i numeri primi fino a una certa soglia N, quando si fa tendere N all’infinito; fu in pratica la prima formulazione del teorema dei numeri primi. Il tentativo di dimostrare queste congetture attraversa l’intero XIX secolo. Ma fu Berhard Riemann, con un lavoro pionieristico e rivoluzionario, a porre le basi per una dimostrazione del teorema che prese una strada del tutto inattesa. Infatti, Riemann scoprì che i numeri primi sono intimamente collegati con una certa funzione, poi detta funzione zeta di Riemann, introdotta da Eulero un secolo prima; il fatto sorprendente scoperto da Riemann è che per capire veramente come sono distribuiti i numeri primi bisogna studiare questa funzione nel campo dei numeri complessi, e in particolare conoscere la posizione dei suoi zeri complessi. Grazie a ciò, nel 1896 Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée Poussin riuscirono a dimostrare il teorema. Le applicazioni del teorema restano confinate nell’ambito della matematica, dove le idee della dimostrazione hanno generato nuove parti di questa scienza che si occupano di crittografia e teoria dei numeri.