LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.4° VOLUMETEOREMI DI EUCLIDE E PRIMO LIBRO DEGLI ELEMENTIGli Elementi di Euclide, scritti intorno al 300 a.C., compendiano e organizzano assiomaticamente gran parte dei risultati matematici (geometrici, aritmetici e algebrici) degli studiosi dei tre secoli precedenti. La loro caratteristica più importante è che, inizialmente, si assumono, senza dimostrarle, alcune proposizioni, dette usualmente proposizioni primitive o assiomi. E alcuni termini indefiniti, come «un punto è ciò che non ha parte» e «una linea è una lunghezza senza larghezza». Procedendo da questi termini, Euclide definì ulteriori concetti come angoli, cerchi, poligoni, le loro proprietà nonché le relazioni fra essi.Negli Elementi si trova quindi tutto ciò che sarebbe servito allo sviluppo della geometria nei secoli successivi, fino alla nostra epoca. Tra i numerosi teoremi, spiccano i due che hanno per oggetto i triangoli rettangoli: «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa» (dal quale deriva il teorema di Pitagora) e «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha come lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa». I due teoremi, oltre a rappresentare due punti fermi nello studio della geometria piana, hanno introdotto le nozioni di equivalenza, proporzionalità tra segmenti e tra figure piane, e hanno permesso di sviluppare entità matematiche come sezione aurea e rettangolo aureo, e le proprietà del pentagono regolare, da cui discende il concetto di numeri irrazionali.

LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.11° VOLUMETEOREMA DEI QUATTRO COLORISviluppato in modo informale e non accademico a metà Ottocento, più che altro come una curiosità, il teorema dei quattro colori è diventato un capitolo a sé nel mondo della matematica. Il suo enunciato è semplice: ogni mappa nel piano è colorabile con soli quattro colori, in modo che regioni adiacenti abbiano colori differenti. La ricerca di dimostrazioni iniziò subito, facendo ricorso ai più diversi strumenti matematici, compresa la teoria dei grafi, ma solo nel 1976 i matematici Appel e Haken sono giunti a una dimostrazione che al momento è giudicata soddisfacente solo da una parte della comunità scientifica. Parte di essa infatti richiede l’uso di un supercalcolatore. Tanto che, per alcuni studiosi, più che di un teorema bisognerebbe parlare di congettura.Se inizialmente fu la cartografia ottocentesca a giovarsi del teorema, oggi le applicazioni e le sue ramificazioni (che non riguardano più i colori in quanto tali, ma la distribuzione combinatoria di diversi elementi tra i più eterogenei) si estendono nei campi più diversi: dalla determinazione di fasce orarie all’allocazione di risorse, alla gestione del traffico.

LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.15° VOLUMETEOREMA DI LAGRANGE O DEL VALOR MEDIOIl teorema del valor medio di Lagrange si applica a funzioni di variabile reale abbastanza regolari e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi. In termini puramente matematici, afferma che data una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato e derivabile nei punti interni esiste almeno un punto interno a questo intervallo tale che la sua derivata prima equivalga al rapporto incrementale negli estremi dell’intervallo. Il teorema di Lagrange, come tutta la ricerca matematica sul calcolo e sull’analisi differenziale, ha dovuto fare i conti con i concetti di infinito e di infinitesimo. All’epoca di Lagrange, il calcolo differenziale non era ancora maturo e rigoroso, quindi il matematico per ricavare i propri risultati fece riferimento alla serie di Taylor. Utilizzò la formula dello sviluppo in serie col resto, che oggi chiamiamo “Formula di Taylor col resto di Lagrange”. Tuttavia, l’ossessione di Lagrange per il rigore dei fondamenti indicò ai matematici che era non solo necessario ma anche possibile fondare il calcolo differenziale su basi rigorose. Cauchy ne fu fortemente influenzato e, finalmente, nel secondo ventennio dell’Ottocento, pose i mattoni fonda-mentali che risolsero il millenario problema di usare in modo appropriato l’infinito e l’infinitesimo. Il teorema del valore medio nella sua forma moderna fu enunciato e dimostrato, sempre da Cauchy, nel 1823. Il teorema di Lagrange ha molti corollari; per esempio, se la derivata è nulla in tutto l’intervallo la funzione esaminata è costante in tutto l’intervallo