TEOREMA DI CAUCHY-KOVALEVSKAJA PER LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy afferma che la soluzione di un’equazione differenziale, sia ordinaria sia alle derivate parziali, di ordine n esiste ed è localmente unica, sotto alcune condizioni. Tuttavia, per parallelismo con il teorema fondamentale dell’algebra che vale nei numeri complessi, queste soluzioni vanno cercate nell’ambito delle funzioni analitiche. E come per il teorema fondamentale dell’algebra i coefficienti dell’equazione algebrica vengono riguardati in campo complesso per dare radici complesse, così Cauchy cercò soluzioni analitiche a equazioni differenziali ordinarie che avessero coefficienti analitici e solo attorno a punti non singolari. Entrò allora in scena la giovane matematica russa Sof’ja Kovalevskaja, studentessa ancora senza titoli, che generalizzò il teorema di Cauchy dimostrando l’esistenza di soluzioni a un sistema di m equazioni differenziali in n dimensioni quando i coefficienti sono funzioni analitiche. Questo teorema deve quindi la sua importanza proprio al fatto di essere l’unico risultato così generale in ambito delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Il teorema e la sua dimostrazione sono validi per funzioni analitiche di variabili reali o complesse e non si ha alcun risultato di dipendenza continua rispetto alle condizioni iniziali. L’equazione di Klein-Gordon in fisica matematica, l’analisi numerica, la geometria differenziale e l’analisi funzionale sono esempi in cui è applicabile il teorema di Cauchy-Kovalevskaja.