TEOREMI DI EUCLIDE E PRIMO LIBRO DEGLI ELEMENTI

Gli Elementi di Euclide, scritti intorno al 300 a.C., compendiano e organizzano assiomaticamente gran parte dei risultati matematici (geometrici, aritmetici e algebrici) degli studiosi dei tre secoli precedenti. La loro caratteristica più importante è che, inizialmente, si assumono, senza dimostrarle, alcune proposizioni, dette usualmente proposizioni primitive o assiomi. E alcuni termini indefiniti, come «un punto è ciò che non ha parte» e «una linea è una lunghezza senza larghezza». Procedendo da questi termini, Euclide definì ulteriori concetti come angoli, cerchi, poligoni, le loro proprietà nonché le relazioni fra essi.
Negli Elementi si trova quindi tutto ciò che sarebbe servito allo sviluppo della geometria nei secoli successivi, fino alla nostra epoca. Tra i numerosi teoremi, spiccano i due che hanno per oggetto i triangoli rettangoli: «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa» (dal quale deriva il teorema di Pitagora) e «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha come lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa». I due teoremi, oltre a rappresentare due punti fermi nello studio della geometria piana, hanno introdotto le nozioni di equivalenza, proporzionalità tra segmenti e tra figure piane, e hanno permesso di sviluppare entità matematiche come sezione aurea e rettangolo aureo, e le proprietà del pentagono regolare, da cui discende il concetto di numeri irrazionali.