TEOREMA DI LAGRANGE O DEL VALOR MEDIO

Il teorema del valor medio di Lagrange si applica a funzioni di variabile reale abbastanza regolari e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi. In termini puramente matematici, afferma che data una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato e derivabile nei punti interni esiste almeno un punto interno a questo intervallo tale che la sua derivata prima equivalga al rapporto incrementale negli estremi dell’intervallo. Il teorema di Lagrange, come tutta la ricerca matematica sul calcolo e sull’analisi differenziale, ha dovuto fare i conti con i concetti di infinito e di infinitesimo. All’epoca di Lagrange, il calcolo differenziale non era ancora maturo e rigoroso, quindi il matematico per ricavare i propri risultati fece riferimento alla serie di Taylor. Utilizzò la formula dello sviluppo in serie col resto, che oggi chiamiamo “Formula di Taylor col resto di Lagrange”. Tuttavia, l’ossessione di Lagrange per il rigore dei fondamenti indicò ai matematici che era non solo necessario ma anche possibile fondare il calcolo differenziale su basi rigorose. Cauchy ne fu fortemente influenzato e, finalmente, nel secondo ventennio dell’Ottocento, pose i mattoni fonda-mentali che risolsero il millenario problema di usare in modo appropriato l’infinito e l’infinitesimo. Il teorema del valore medio nella sua forma moderna fu enunciato e dimostrato, sempre da Cauchy, nel 1823. Il teorema di Lagrange ha molti corollari; per esempio, se la derivata è nulla in tutto l’intervallo la funzione esaminata è costante in tutto l’intervallo