TEOREMA DELLA CONNESSIONE DI LEVI-CIVITA
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"TEOREMA DELLA CONNESSIONE DI LEVI-CIVITA"
39° VOLUME
TEOREMA DELLA CONNESSIONE DI LEVI-CIVITA
Se Gauss aveva iniziato la geometria differenziale e Riemann aveva introdotto una varietà differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica, area, volume e curvatura su spazi di dimensione arbitraria, fu Gregorio Ricci-Curbastro a concepire il calcolo differenziale assoluto attraverso i tensori, che permettevano l’indipendenza dalle coordinate. A sviluppare ulteriormente questi concetti fu Tullio Levi-Civita, allievo e coautore di Ricci: se il maestro fornì l’alfabeto, l’allievo ne offrì la grammatica attraverso una connessione che consente di definire come un vettore cambia mentre ci si muove su una varietà. Nacque così, nel 1917, il teorema di Levi-Civita in geometria differenziale, il quale afferma che su una varietà riemanniana esiste un’unica connessione senza torsione che preserva la metrica, chiamata appunto connessione di Levi-Civita. Questa connessione è fondamentale perché permette di definire concetti come derivata covariante, trasporto parallelo e geodetiche in modo che le loro proprietà metriche rimangano costanti. L’importanza del risultato di Levi-Civita sta soprattutto nella prova dell’unicità: data una metrica, esiste una e una sola connessione che la preserva e che non introduce torsione. Ciò è essenziale per lo studio di oggetti geometrici come le superfici e gli spazi curvi, dove la nozione di parallelismo non è così ovvia come in uno spazio piatto. Il lavoro di Levi-Civita ebbe un impatto straordinario, soprattutto nella fisica. Fu infatti uno dei pilastri matematici per comprendere in profondità la teoria della relatività generale formulata da Albert Einstein nel 1915, solo due anni prima della pubblicazione del teorema di Levi-Civita.